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代码随想录算法训练营Day14 | 二叉树理论基础、递归遍历、迭代遍历、统一迭代

Posted by 慕念 on March 5, 2024

二叉树理论基础

文章讲解：https://programmercarl.com/%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%E7%90%86%E8%AE%BA%E5%9F%BA%E7%A1%80.html

二叉树的种类

满二叉树

满二叉树：如果一棵二叉树只有度为0的结点和度为2的结点，并且度为0的结点在同一层上，则这棵二叉树为满二叉树。

如图所示：

img

这棵二叉树为满二叉树，也可以说深度为k，有$2^k-1$个节点的二叉树。

完全二叉树

什么是完全二叉树？

完全二叉树的定义如下：在完全二叉树中，除了最底层节点可能没填满外，其余每层节点数都达到最大值，并且最下面一层的节点都集中在该层最左边的若干位置。若最底层为第h层（h从1开始），则该层包含 1~ $2^{h-1}$ 个节点。

大家要自己看完全二叉树的定义，很多同学对完全二叉树其实不是真正的懂了。

我来举一个典型的例子如题：

img

相信不少同学最后一个二叉树是不是完全二叉树都中招了。

之前我们刚刚讲过优先级队列其实是一个堆，堆就是一棵完全二叉树，同时保证父子节点的顺序关系。

二叉搜索树

前面介绍的树，都没有数值的，而二叉搜索树是有数值的了，二叉搜索树是一个有序树。

  • 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
  • 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
  • 它的左、右子树也分别为二叉排序树

下面这两棵树都是搜索树

img

平衡二叉搜索树

平衡二叉搜索树：又被称为AVL（Adelson-Velsky and Landis）树，且具有以下性质：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。

如图：

img

最后一棵不是平衡二叉树，因为它的左右两个子树的高度差的绝对值超过了1。

二叉树的遍历方式

二叉树主要有两种遍历方式：

  1. 深度优先遍历：先往深走，遇到叶子节点再往回走。
  2. 广度优先遍历：一层一层的去遍历。

这两种遍历是图论中最基本的两种遍历方式，后面在介绍图论的时候 还会介绍到。

那么从深度优先遍历和广度优先遍历进一步拓展，才有如下遍历方式：

  • 深度优先遍历
    • 前序遍历（递归法，迭代法）
    • 中序遍历（递归法，迭代法）
    • 后序遍历（递归法，迭代法）
  • 广度优先遍历
    • 层次遍历（迭代法）

在深度优先遍历中：有三个顺序，前中后序遍历，这里前中后，其实指的就是中间节点的遍历顺序

看如下中间节点的顺序，就可以发现，中间节点的顺序就是所谓的遍历方式

  • 前序遍历：中左右
  • 中序遍历：左中右
  • 后序遍历：左右中

大家可以对着如下图，看看自己理解的前后中序有没有问题。

img

二叉树的定义

class TreeNode:
    def __init__(self, val, left = None, right = None):
        self.val = val
        self.left = left
        self.right = right

递归遍历（必须掌握）

题目链接/文章讲解/视频讲解：https://programmercarl.com/%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%E7%9A%84%E9%80%92%E5%BD%92%E9%81%8D%E5%8E%86.html

⭐递归三要素：

  1. 确定递归函数的参数和返回值： 确定哪些参数是递归的过程中需要处理的，那么就在递归函数里加上这个参数， 并且还要明确每次递归的返回值是什么进而确定递归函数的返回类型。
  2. 确定终止条件： 写完了递归算法, 运行的时候，经常会遇到栈溢出的错误，就是没写终止条件或者终止条件写的不对，操作系统也是用一个栈的结构来保存每一层递归的信息，如果递归没有终止，操作系统的内存栈必然就会溢出。
  3. 确定单层递归的逻辑： 确定每一层递归需要处理的信息。在这里也就会重复调用自己来实现递归的过程。

前序遍历（递归）

1、确定递归函数的参数和返回值

    def preorderTraversal(self, root):
        """
        :type root: TreeNode
        :rtype: List[int]
        """

2、确定终止条件：在递归的过程中，如果当前遍历的节点为空，那么本层递归就要结束了，所以如果当前遍历的这个节点是空，就直接return，代码如下：

        if not root:	# root是当前节点（传入的参数），不是根节点
            
            return []

3、确定单层递归的逻辑：前序遍历是中左右的循序，所以在单层递归的逻辑，是要先取中节点的数值，代码如下：

left = self.preorderTraversal(root.left)
right = self.preorderTraversal(root.right)

return  [root.val] + left +  right

整体代码：

# Definition for a binary tree node.

# class TreeNode(object):

#     def __init__(self, val=0, left=None, right=None):

#         self.val = val

#         self.left = left

#         self.right = right

class Solution(object):
    def preorderTraversal(self, root):
        """
        :type root: TreeNode
        :rtype: List[int]
        """
        if not root:
            return []

        left = self.preorderTraversal(root.left)
        right = self.preorderTraversal(root.right)

        return  [root.val] + left +  right

另一种写法：

class Solution:
    def preorderTraversal(self, root: TreeNode) -> List[int]:
        def preorder(root: TreeNode):
            if not root:
                return
            res.append(root.val)
            preorder(root.left)
            preorder(root.right)
        
        res = list()
        preorder(root)
        return res

后序遍历（递归）

class Solution(object):
    def postorderTraversal(self, root):
        """
        :type root: TreeNode
        :rtype: List[int]
        """
        if not root:
            return []
        
        left = self.postorderTraversal(root.left)
        right = self.postorderTraversal(root.right)

        return left + right + [root.val]

中序遍历（递归）

class Solution(object):
    def inorderTraversal(self, root):
        """
        :type root: TreeNode
        :rtype: List[int]
        """
        if not root:
            return []
        
        left = self.inorderTraversal(root.left)
        right = self.inorderTraversal(root.right)

        return left + [root.val] + right

迭代遍历（基础不好的录友，迭代法可以放过）

题目链接/文章讲解/视频讲解：https://programmercarl.com/%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%E7%9A%84%E8%BF%AD%E4%BB%A3%E9%81%8D%E5%8E%86.html

思路：用栈模拟，因为递归函数本质上是通过栈实现的

递归的实现就是：每一次递归调用都会把函数的局部变量、参数值和返回地址等压入调用栈中，然后递归返回的时候，从栈顶弹出上一次递归的各项参数，所以这就是递归为什么可以返回上一层位置的原因。

前序遍历（非递归）

前序遍历是中左右，每次先处理的是中间节点，那么先将根节点放入栈中，然后将右孩子加入栈，再加入左孩子。

为什么要先加入右孩子，再加入左孩子呢？ 因为这样出栈的时候才是中左右的顺序。

动画如下：

二叉树前序遍历（迭代法）

class Solution(object):
    def preorderTraversal(self, root):
        """
        :type root: TreeNode
        :rtype: List[int]
        """
        res = []

        stack = []
        if root:
            stack.append(root)
        
        while(stack):
            node = stack.pop()
            res.append(node.val)
            if node.right:
                stack.append(node.right)
            if node.left:
                stack.append(node.left)
        return res

后序遍历（非递归）

后续遍历：左右中

前序到后序

class Solution(object):
    def postorderTraversal(self, root):
        """
        :type root: TreeNode
        :rtype: List[int]
        """
        res = []

        stack = []
        if root:
            stack.append(root)
        
        while(stack):
            node = stack.pop()
            res.append(node.val)
            if node.left:
                stack.append(node.left)
            if node.right:
                stack.append(node.right)

        return res[: :-1]	# 反转

中序遍历（非递归）

在迭代的过程中，其实我们有两个操作：

  1. 处理：将元素放进result数组中
  2. 访问：遍历节点

分析一下为什么刚刚写的前序遍历的代码，不能和中序遍历通用呢，因为前序遍历的顺序是中左右，先访问的元素是中间节点，要处理的元素也是中间节点，所以刚刚才能写出相对简洁的代码，因为要访问的元素和要处理的元素顺序是一致的，都是中间节点。

那么再看看中序遍历，中序遍历是左中右，先访问的是二叉树顶部的节点，然后一层一层向下访问，直到到达树左面的最底部，再开始处理节点（也就是在把节点的数值放进result数组中），这就造成了处理顺序和访问顺序是不一致的。

那么在使用迭代法写中序遍历，就需要借用指针的遍历来帮助访问节点，栈则用来处理节点上的元素。

二叉树中序遍历（迭代法）

先找到最左的left节点（图中是1），一路找一路push，到最左节点没有右孩子的话，返回上一层（栈中弹出元素4），找4的右孩子2的左孩子（没有），返回上一层（弹出元素5），找5的右孩子6

class Solution(object):
    def inorderTraversal(self, root):
        """
        :type root: TreeNode
        :rtype: List[int]
        """
        if not root:
            return
        
        res =[]
        stack = []
        # 找最左孩子
        
        cur = root
        while(cur):
            stack.append(cur)
            cur = cur.left
        
        while(stack):
            node = stack.pop()
            res.append(node.val)
            if node.right:
                # 找右孩子的最左节点
                
                cur = node.right
                while(cur):
                    stack.append(cur)
                    cur = cur.left
        return res

另一种写法（写法更简洁）：

class Solution:
    def inorderTraversal(self, root: TreeNode) -> List[int]:
        if not root:
            return []
        stack = []  # 不能提前将root结点加入stack中
        
        result = []
        cur = root	# cur作为指针遍历二叉树
        
        while cur or stack:	# 指针不为空且栈不为空时
            
            # 先迭代访问最底层的左子树结点
            
            if cur:     
                stack.append(cur)
                cur = cur.left		
            # 到达最左结点后处理栈顶结点   
            
            else:		
                cur = stack.pop()
                result.append(cur.val)
                # 取栈顶元素右结点
                
                cur = cur.right	
        return result

统一迭代（基础不好的录友，迭代法可以放过）

题目链接/文章讲解：https://programmercarl.com/%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%E7%9A%84%E7%BB%9F%E4%B8%80%E8%BF%AD%E4%BB%A3%E6%B3%95.html

针对三种遍历方式，使用迭代法写出统一风格的代码

学有余力->没有余力:sos:

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